用數據磨練商業 sense！11 個實用統計學觀念，讓你的決策更精準
統計是一門蒐集、彙整、分析資料的科學，更是企業常用的分析工具。亞馬遜（Amazon）能在你瀏覽時，推薦你「買了這本書的人也買了這些書」，用的是相關性分析；美國總統歐巴馬（Barack Obama）的競選團隊，知道哪個版面的網站能讓選民增加捐款金額，利用的是隨機對照實驗；市場調查能用少數人的意見推算出整個市場的看法，依據的是抽樣調查的原理。
達特茅斯學院教授查爾斯．惠倫（Charles Wheelan）在《聰明學統計的13又1/2堂課》一書中，列舉出學統計的目的，其中包括：
- 分析數據，將資料做出摘要；
- 做出更好的決定；
- 辨識出能提升做每一件事效果的模式；
- 評估政策、計畫與其他創新事項的效用。
聽起來是不是很熟悉？彙整數字做出決定、找出做事更有效的方法、評估計畫的效用，這些不就是經理人的工作嗎？別害怕數學，從統計學的幾個入門觀念學起，一步步磨練商業決策的眼光：
1. 大數法則（law of large numbers）
樣本數愈大，樣本的算術平均值就會愈接近母群體的真實數值。
《聰明思考》把它引申用在生活中，意即人們對某件事的觀察，可以當作是從母群體中抽樣，例如今天A餐廳真難吃、某候選人的面試表現佳，要了解這些評估是否正確，必須要有夠多的樣本，也就是更多的資料輔助判斷。
以聘雇人才來看，面試只能呈現候選人的片段資訊（部分樣本），未必能得到對方完整的圖像，建議搭配筆試、書面資料做綜合判斷。值得注意的是，樣本數愈大也不一定愈接近真實，要留意「抽樣偏誤」問題，也就是樣本要能夠真實反映母體。如果調查工廠中偏好彈性工時的員工，只調查業務部門的員工，就有「抽樣偏誤」狀況，要對調查結果的可性度存疑。
2. 平均數（average）
客單價就是消費產業最重視的平均值之一，以「銷售總額÷來客數」。客單價的重要性在於，提高客單價就能在來客數（分母）相同的情況下，拉高營業額（分子）和利潤。百貨公司的周年慶滿千送百、便利商店推出的集點活動，都是為了拉高客單價所進行的促銷活動。
3. 中位數（median）
中位數的優點是可以去除極端值的影響。舉例來說，百貨公司新引進了一個超高檔品牌，拉高了整層樓的平均營收，看起來好像整層樓的業績成長，但是如果將各專櫃的營收由小而大排列，從中位數就可知道，大部分品牌的營收其實沒有成長。
4. 眾數（mode）
平均數、中位數和眾數都是用來描述數據的方法，眾數也不受極端值的影響，最適合用來表達具有「集中」趨勢的數據。比方說，製鞋廠從客戶的銷售資料中發現，銷量最高的鞋子尺碼是 23.5 號（眾數為 23.5，此時計算鞋碼的平均數和中位數都沒有意義），因此鞋廠應該集中資源生產 23.5 號的鞋。
5. 機率（probability）
機率是用 0～1 來表示事件的可能發生的程度：0 代表不會發生，全部的可能性加起來為1。
以棒球為例，打者的打擊率為三成，表示他有三成機會打出安打，七成機會沒打出安打，而安打加沒有安打的機率應該等於 1。擲一次骰子，可能出現 1 到 6 點，出現任一點的機會為 1/6，全部的可能性加起來等於 1。機率適合用來規畫工作進程、預測業務進度，避免做出過於樂觀的判斷。
假定廣告公司內部提案的通過率為七成，通過的案子馬上被客戶接受的機率是五成，這表示每一個提案要獲得公司內部與客戶認可的機率是 0.7x0.5＝0.35。用機率的方式思考，由於提案成功率只有三成五，所以提案時應該要多準備幾個備案；而提 3 件案子只通過 1 件，也都屬於正常情況，用不著氣餒。
6. 期望值（expected value）
期望值是機率的應用，將「事件的機率」×「可能得到的報酬」，求得做這件事的期望價值。
假設你擲出骰子幾點就可以得到幾元，那麼擲一次骰子的期望值，就是將所有可能性的期望值算出來相加，也就是 1 點 1 元（1/6x1=1/6）加上 2 點 2 元(1/6x2=2/6)加 3 點 3 元（1/6x3=3/6）加 4 點 4 元（1/6x4=4/6）加 5 點 5 元（1/6x5=5/6）加 6 點 6 元（1/6x6=6/6）的總和 3.5 元，這表示你擲一次骰子的期望值就是 3.5 元。
期望值可用來衡量決策，如果某件事的期望值低於做這件事的成本，就沒有做的價值。再以廣告提案為例，假定最終通過客戶審核可賺得 100 萬元的話，我們可算出提案成功的期望值就是 100 萬 x0.5=50 萬，提案在社內通過的期望值則為 50 萬 x0.7=35 萬。這表示你最初的提案有 35 萬元的價值，也表示若提案的成本超過 35 萬，你也許根本不應該接下案子。
7. 常態分布（normal distribution）
呈現連續變數性質的工具，像是人類身高、機器每周生產產品的數量，這些資料都有平均值，如果將資料展開，將縱軸視為數據量（機率值）、橫軸顯示數據與平均數之間的離散值（標準差），就可以畫出以平均值為中心的常態分布圖，常態分布會符合「68、95、99.7法則」（參見【圖1】）。
《多模型思維》指出，常態分布能夠判斷資料的分布狀況，推論群體差異的範圍，避免受「極端數據」誤導。《聰明思考》舉例，如果一位籃球員上周的三分球投籃命中率是50%，這周滑落到10%，你會責怪他大幅退步，但對應常態分布圖，才發現他的命中率平均值是13%，其實這周才是他的正常發揮。若將極端狀況視為常態，就容易做錯決策。
另一種判斷失誤是，人們常以為大洪水、恐怖攻擊、金融危機等極端事件會呈現「常態分布」，發生機率趨近於零，不用提前做準備。然而，實際上極端事件會是「厚尾分布」（參見【圖2】 ）。
《思考的框架》指出，在呈現常態分布的世界裡，你不會看到身高比平均高 10 倍的人，但在厚尾分布裡，你會經常遇到比一般人高 10 倍、100 倍的人。換句話說，在厚尾分布中，極端事件發生可能性比想像中高出 10 倍、100 倍，大家必須為這些「黑天鵝事件」預先準備。
8. 標準差（standard deviation）
標準差則是用來表示大多數的資料距離平均值有多遠。當資料呈現常態分布，那麼距離平均值一個標準差的範圍內，應該聚集了 68% 的資料（如下圖），兩個標準差內聚集了 95% 的資料，三個標準差內包含了 99.7% 的資料。假如你身高 181 公分，台灣男性平均身高為 172 公分，標準差為 4 公分，表示你的身高大於兩個標準差，算非常高。
同理，當你在挑選運送商品的貨運公司時，如果有兩家公司的平均送達天數都是 3 天，但是 A 公司的標準差是 0.5 天，B 公司的標準差是 1.5 天，這就表示：A 公司有 68% 的機會，會在 3±0.5＝2.5～3.5 天內送達商品，B 公司有 68% 的機會，會在 3±1.5＝1.5～4.5 天內送達。要是你想要商品都在 4 天內送達，就應該選 A 公司。
9. 次數分配表（frequency table）和直方圖（histogram）
記錄組別和次數的表格，稱為次數分配圖。利用組別和相對次數的數據製作成長條圖，又稱直方圖，長條之間不會有間隔。
將資料分門別類，然後依照類別分組填入次數（頻率），即為次數分配表（圖表1-1）。再以組別為橫軸，相對次數（或次數）為縱軸，即可將次數分配表「視覺化」，畫出的長條圖稱為直方圖（圖表1-2），可以直接看出樣本的分布。
次數分配表和直方圖可用來進行 ABC 分析法，據以研擬商品策略：
1. 將次數分配表依照營業額的高低重新排列商品順序；
2. 求取各類商品占整體營業額的比率；
3. 從營業額最高的商品開始，依序累計各商品的比率（累計比率；圖表1-1最右欄)；
4. 在直方圖（圖表1-2)；上以累積比率為第二縱軸，製作折線圖（圖表1-3)。
根據 ABC 分析法，累積比率在 70% 以下的商品歸為 A 類，70%～90% 的歸為 B 類，其他的歸為 C 類。從圖表可知，A 類的 3 種麵包（吐司、熱狗麵包、菠蘿麵包）合計約占營業額的七成，應該優先主打 A 類商品，生產線也要優先生產A類商品。
10. 相關關係（correlation）
分析數據通常是為了「調查相關程度」，比方說「廣告費用」與「產品營收」是否相關，如果廣告增加、營收跟著增加，兩者就呈現正相關，反之則為負相關。我們該如何確認相關性呢？
第一步是收集數據，將每月廣告費用及產品營收資料整理起來。再利用「相關係數」評判兩者的相關程度。《7小時，統計學從天書變故事書》提到，手動估算的算式很複雜，建議應用Excel的「CORREL」函數算出相關係數，也可以畫出「散布圖」來判斷兩者的關係程度（參見【圖3】）。
不過，《多模型思維》指出，並不是每筆資料都會呈現「線性相關」模型（y=mx+b）（參見【圖4】）──也就是斜率固定（m）、第一個變數因第二個變數變化而造成的變化量，與第二個變數的變化量成固定比例。
生活上更常出現的是「非線性相關」模型，一種是曲線上彎的「凸函數」（參見【圖5】），斜率不斷增加，也就是增加變數值時，函數會大幅增加，像是指數成長模型，每年投資10萬元在年利率5%的投資工具，第一年只增加5000元，但在第14年至第15年，總資產超過20萬元。
另一種是曲線往下彎的「凹函數」（參見【圖6】），斜率不斷減少，代表擁有的東西愈多，每增加一單位帶來的價值愈少，這稱為「報酬遞減效應」。
當我們具備「非線性模型」概念時，就能跳脫「員工人數增加，生產量必然增加」的線性思維，將資源配置在合適之處，避免報酬遞減效應，或是利用複利效應創造更高的報酬。
11. 因果關係（causality）
「成績愈好的學生，學習時間愈長，兩者呈正相關，可否直接解釋成「因為學生成績好，所以樂於延長學習時間」呢？答案是不行，因為兩者關係可能是「學生學習時間長，所以成績更好」。《7小時，統計學從天書變故事書》指出，「因果關係」定義比「相關關係」更為嚴苛。
相關關係是「一方關係改變，另一方也會改變」，是「A→B」也是「B→A」，兩者沒有主從之分；但因果關係有「方向性」，必須是「A→B」，不會是「B→A」。所以有相關關係，未必會有因果關係。
就算看似是「A→B」單向關係，也要釐清是否有「干擾因子」（參見【圖7】），例如醫學界認為人因為愛喝咖啡（A），所以容易罹患心臟病（B），後來發現咖啡愛好者抽菸且不愛運動比例高，抽菸才是導致心臟病的原因，喝咖啡只是干擾因子。
該如何確認因果關係呢？《因果螺旋》提到，實驗法是很好的工具，透過控制「原因變項」，再觀察後續事件的發生狀況。假設要判斷看電視時間和學業成績是否有因果關係，可以把願意參與的學生，隨機分配在「長時間看電視組」「短時間看電視組」，經過一年再測驗他們的學業成績。
由於看電視實驗介入在先、學業成績在後，因果時序很明確，加上受試者是隨機分配，也就是其他可能影響學業成績的變項（年齡、智力程度）分布是2組相近的，所以得出結果能夠用來判斷看電視是否影響課業表現。
實驗法也可以用在網站點擊率測試，將不同文章在網路上刊登同樣時間，看哪個效果最好。學會釐清因果關係，就能針對各種情境採取正確的因應手段。
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