沈榮欽專欄：陶哲軒的AI洞見

AI正在以前所未見的速度改變人類社會。烏克蘭士兵正使用Anduril和Palantir的無人機系統改變人類作戰方式，其中唯一需要人類涉入的只是烏克蘭軍人指定俄國目標，之後無人機便會自行在地圖上規劃隱蔽路線，並且協同作戰，利用餌機發現俄國防空設施並加以摧毀，均由AI完成。在美國，NASA、Google DeepMind和新創公司Loft Orbital合作，擺脫了過去由人造衛星記錄大量資料，傳回地面再由AI與人類花費數天或數週分析的運作方式，人造衛星現在可以在AI幫助下，自主搜尋圖像資料（如森林火災熱點），從任務下達到目標確認，整個過程不到10分鐘。可以想見，這種即時性，未來無論在商業或是軍事上，都將有極大的應用能力。誠如其首席科學家Emma Chen所說：「這不是一次簡單的圖像識別，而是認知、決策到行動的完全自主化」。

AI同時對人類研究方式產生巨大變革。一名23歲的年輕人 Liam Price，沒有受過高等數學訓練，某天午後他用ChatGPT Pro便解決了高懸60年的艾狄胥問題（Erdős problem）第1196號。

ChatGPT Pro並不是一個專門為數學而寫的AI，雖然Google AI是否最強頗有爭議，但是Google DeepMind 在數學研究上，比任何人走得更遠。Google DeepMind的Demis Hassabis 與 John Jumper因開發 AlphaFold 預測蛋白質結構，共同獲得了 2024 年諾貝爾化學獎。其實不僅化學，AI在數學領域的進展，也許比任何一個學科都多。Google DeepMind不僅發佈了Lean 作為開源形式化驗證工具，還推出 AlphaProof 開創了直接生成形式化驗證證明的新路徑，用以驗證證明是否有誤。之後又公佈了AlphaGeometry用來解決幾何問題，甚至發布了全自動數學研究 AI 智慧體Aletheia（Autonomous Mathematical Research Agent），用來發覺未知的數學真理，而非僅在奧林匹亞數學競賽獲得高分。

今年五月，Google DeepMind解決了另外9個艾狄胥問題。不過真正突破的是，OpenAI同時公布其AI找到反例，推翻艾狄胥問題中第90號的「平面單位距離猜想」，並且提出125頁的證明，最後經過驗證，這125頁的證明是正確的。菲爾茲獎得主Timothy Gowers表示，如果一位人類研究人員將這篇論文投稿到享有盛譽的《Annals of Mathematics》，他會建議立即接受發表。他認為這標示人類進入了一個新時代，人類在解決數學問題上將很難與 AI 競爭。

為了測試Google DeepMind的Aletheia是否只是侷限於既有的知識和數據，不久前多位頂尖數學家發起了「第一證明挑戰」（First Proof Challenge），將 10 個全新頂尖的數學問題加密上傳，這些問題都是在目前數學發展前沿，而且從未出現在任何 AI 的訓練數據中。最後Aletheia成功獨立解決了其中 6 個難題，證明了 AI 已經具備數學專業推理能力，能夠在完全未知的領域中進行邏輯推演，而非僅是複製既有的數據。

AI雖然是當紅炸子雞，但是媒體所討論的只是其中一小部分。大多數人從媒體上見到的都是AI對人類社會造成多大的衝擊，從Erik Brynjolfsson的悲觀到Daron Acemoglu的樂觀不等；AI是投資不足還是過度投資？是否會泡沫化？哪些人可以提升生產力？是否會取代人力，造成大量失業？什麼樣的工作能夠免於AI的衝擊等等，較少討論「應該」如何面對與應用AI。

在數學領域受到AI前所未有的衝擊時，陶哲軒身為使用並且提倡AI的知名數學家，以他個人第一手經驗，反思如何使用AI，十分具有價值，值得人們仔細聆聽。

陶哲軒曾經在拜登總統任內，被聘為為總統科技顧問委員會成員，負責為總統與白宮提供關於AI的治理和政策建議。其實在2023年ChatGPT問世後，白宮就成立了「生成式 AI 工作組」，任命陶哲軒為共同領導人。2024 年，由陶哲軒等人領銜的工作組向拜登總統提交正式報告，促成白宮的「國家 AI 研究資源（NAIRR）」。因此他本人不僅在專業領域應用AI，也曾是美國AI政策的關鍵推手之一。

陶哲軒指出，在學術領域中，數學可能是最保守的一門學問，數世紀以來，研究方法幾乎未曾改變。200年前柯西寫的教科書中關於柯西積分的內容，和現在研究所教的內容一模一樣。而且數學和其他科學領域還有一點重大差異，就是論文合著者極少，數學家更傾向單打獨鬥。當其他科學領域合作者數目大增時，多年來數學論文合著者僅從1.5人增加到2.5人。

其實近幾年來，數學界合作的型態也在改變中，其中一項重要的計畫，就是前面提到的菲爾茲獎得主Timothy Gowers提出的「博學者計畫」（Polymath Project），讓線上的其他數學愛好者共同討論研究數學，成為大規模協作數學的知名平台，陶哲軒也參與其中。

陶哲軒認為博學者計畫成功的關鍵，在於如何將一個大的數學問題分解為很多相對獨立的小問題，因此不同團隊可以平行處理這些小問題，然後將各自的成果整合起來。之後博學計畫果然達成讓多位數學家合作證明的史無前例成就，《華爾街日報》在2011年10月29日刊登《新一代愛因斯坦將是樂於分享的科學家》報導，稱「博學計劃」開創了一種解決數學問題的新方法。

但是陶哲軒卻發現這種方法有其限制，因為這種做法雖然增加了參與者貢獻的可能性，但是同時也增加了眾多參與者中任何一人出錯的機率。防止出錯的唯一方法是由一位老練的研究者仔細檢查所有工作，但是很明顯的，這又讓這名研究者成為瓶頸，進而削弱博學者計畫的初衷。

不久後，隨著ChatGPT標誌的AI大爆發之後，也很快進入數學領域。一開始AI還在競爭解題能力，奧林匹亞數學競賽因為有現成的題目，就成為評估AI的標準。隨著AI進步神速，很快就到了可以產生專業證明的地步。媒體於是開始討論AI是否取代數學家，造成數學家失業一樣，但是數學家本身的經驗和媒體擔心的問題幾乎毫不相關。

自從AI可以產生專業的數學證明之後，數學家很快發現了一個前所未有的問題：證明太多，卻沒有足夠的人力去驗證AI的證明是對或錯。AI生產證明的速度，遠超過人類驗證的速度，即使借助AI工具Lean去驗證AI證明，至今已經驗證了超過25萬個定理，仍然遠超遠出了數學家的時間限制。而且可以預期的是，這種問題方興未艾，在未來只會越來越嚴重。

表面上看來，AI近乎無窮精力的生產出大量證明，讓數學從證明稀缺到證明過剩，似乎人類成為數學發展的瓶頸，更加證明數學家的價值所剩無幾，不僅無助於數學進展，反而成為拖後腿的障礙。但是仔細思考就會發現，這其實是一個知識論（Epistemology）和價值論（Axiology）的問題，也就是我們如何知道我們的知識是正確的？一個僅通過AI的證明，算不算已經確認的知識？更進一步而言，當AI生成邏輯嚴謹的數學證明，並且通過AI的形式驗證，那麼這個證明對人類知識具有價值嗎？

我們很容易認為，只要AI夠聰明，能夠提出專業的證明，並且能夠加以驗證為真，那就是真正的知識，必然具有價值。不過陶哲軒認為，答案未必如此顯而易見。因為數學家做的三件事情包括：提出證明、驗證證明和消化證明，AI目前努力的方向是前兩者，但是對於最後一項，並未有建樹。

知識是一種體系，數學家不僅僅是提出和驗證證明，還要把證明放在適當的位置，闡明和先前研究的關聯，指出其創新之處，並且提出未來可能的發展方向。換句話說，數學家並不是把數學看成一個又一個的證明或定理，而是在心靈中有一個數學的體系，一個證明並不是被寫出了，並且驗證之後，就結束了。數學家們其實花費大量的心力去找到這個證明在數學體系中的位置，梳理其邏輯，闡明和其他證明之間或隱或顯的關係，指出其可能解決的新問題，以及未來和哪些知識可以聯合開創新的機會與可能性，有時還要將其轉化為合適內容，刪選之後講給下一代學生聽。因為AI僅能提出證明和驗證證明，卻無能消化證明，所以陶哲軒稱之為「三分之二的解決方案」。

這聽起來似乎是個悖論，AI能夠提出證明，甚至還能幫助人類去驗證證明的真偽，明明生產了知識，但是這種知識卻不被視為有價值，知識體系要進步，就必須知道每一個證明的位置，除非它被整合到數學體系中，否則既無法與過去關聯，也無能闡明未來，就無法發揮出價值，而目前AI幾乎未曾在這方面著墨。

陶哲軒是知名數學家中，對於提倡用AI幫助人們證明及驗證，最積極的一位，也是對AI最樂觀的學者之一，因為他正應用AI完成了一個極具有意義的計畫：「方程式理論計畫」，這個計畫巧妙地顯示出數學家如何和AI共存，一起促成人類知識的進步。

事情緣起於陶哲軒和Timothy Gowers等人完成一個證明，陶哲軒試著用Lean4形式化證明，並且開放討論平台，讓其他人參與，這其實就是AI版本的博學者計畫。隨著參加者眾多，陶哲軒很快發現自己忙碌到不需要親自寫Lean程式，而變成一位管理者。

這個計畫大獲成功，陶哲軒不僅證實數學家多人合作的可能性，而且成功利用AI協助證明與驗證。在這個基礎上，陶哲軒啟動了「方程式理論計畫」，和 50 位合作者共同完成。其中大部分參與者陶哲軒之前既不認識也沒見過面，都是透過這個計畫認識的，而且其中大多數並非專業數學家，而是電腦科學家、研究生、大學生，甚至高中生都參與其中。

這個計畫的目的是要找到不同代數定律之間的關係。陶哲軒發現，如果將研究範圍限制在運算次數剛好為四次的代數定律，那麼他需要考慮大約4,694個定律，每個定律都可能和其他定律發生或真或假的不同關係，這就產生了大約2,200萬個關係需要驗證。一旦解決了這2,200萬個問題，就能夠全面理解這4,694個定律之間的相互關係。

這2,200 萬個代數問題大多數都不難，也許一個代數專業的研究生可以花一個小時就能判斷對錯。但是當問題高達 2,200 萬個時，就完全是另一層次的問題。陶哲軒表示之前文獻裡提到的同類項目，最多也只研究過 20 個問題，從來沒有人處理過2,200 萬個問題。如果只是像博學者計畫那樣開放一個平台，讓所有有興趣的人都來參與，也沒有人能夠管理，管理複雜度已經超過一般人的控制幅度，更別說還要確保正確，錯誤的結果會讓日後建基於此基礎上的數學研究發生災難性的後果。要如何確定產生的結果是正確的？如果要像博學者計畫一樣，需要一位守門人把關所有問題的話，就會完全超過任何人的負荷程度，所以這類計畫在過去根本不可能實現。

最後在AI協作下，「方程式理論計畫」僅僅用了三個月內就完成了。對於每個問題，計畫團隊都有對應的證明或反證，來證明它是真是假，這是數學史上史無前例的成就。陶哲軒親自解釋「方程式理論計畫」團隊是如何運作的，為什麼50個人能夠在三個月完成2,200 萬個代數問題。他們的作法是這樣的：

1. 首先在 GitHub 上建立了大型儲存庫，所有證明都必須用標準化語言來「形式化」，這樣才能實現自動化驗證，在這裡他們使用了 Lean 作為證明輔助語言。

2. 然後他們構建了討論區，讓所有成員都可以參與討論。比如說討論區會有人工生成的證明，然後有人會從 2,200 萬條推論中隨機選取一條進行驗證並發布，其他人則會嘗試復刻這些成果。

3. 之後研究人員會執行電腦程序，嘗試解決全部 2,200 萬個問題，他們的程式每次最多能處理 10 萬個問題。

4. 團隊成員會反覆調整，將人類證明轉換為電腦證明，或將電腦證明轉換為人類證明。這種反覆調整的過程是他們即興摸索出來的，但效果十分顯著。

陶哲軒本人在歸納經驗時，認為其關鍵成功因素有以下三點：

第一、高度模組化設計

系統本身就被拆解成 2,200 萬個相關問題，研究人員可以針對其中的某個子集展開專案解題。或者說，有些人會專門撰寫人類可讀的證明文件，而有些人則會專門將這些證明轉化成電腦可讀的證明。你不必事無鉅細地了解專案每個環節，而可以專注於某個特定領域。這就像是現代軟體開發專案中的分工協作模式。

陶哲軒這裡所提到的模組化設計，十分近似於諾貝爾獎和圖靈獎得主賽門（Herbert Simon）主張「近似可分解性」（near-decomposability）有關，也就是大系統劃分子系統時，會讓子系統內部的互動強度與頻率，遠大於子系統之間的互動等性質。

這種組織方式極為常見，小到物質組成（原子內部作用力極強；原子間的化學鍵較弱；分子間的凡德瓦力更弱），大到宇宙星系（行星內部的重力緊密束縛；恆星系之間的距離遙遠，引力互動微弱），從生命有機體（細胞內部的生化反應速度極快；器官之間的生理協調速度較慢）到人類組織（如行銷部門內部的日常溝通密集高效；跨部門或跨公司的商務往來頻率較低），都可發現這種特性。

賽門認為，極短期內，每個子系統相互獨立，互不干涉，只有在較長時間尺度下，子系統之間微弱的互動才會顯現出來，驅動整個系統向最終的總體平衡演進。其優勢是，當單一子系統發生錯誤時，會被限制在內部，不會引發連鎖反應而影響整體，讓生物或組織能以「模組化」的方式快速演化。同時因為人類的理性有限，無法理解一個完全交織、混亂的龐大系統，將現實拆解為可控的、相對獨立的子系統，才能解決問題與決策。

第二、明確的評估標準

模組化設計在現實中要能運作得宜，就必須有明確的評估系統。專案從一開始就設定目標並將目標分為子目標，依此建立評分系統（例如損失函數）。評分系統隨著團隊開始運作後，會不斷地根據回饋而加以改善，最終這種機制為專案推進開啟了全新想法。

例如在專案進行到第 16 天時，系統顯示存在 2,200 萬個關聯資料。但實際上，我們早在第 16 天就解決了除 888 個之外的所有問題。隨後團隊會從這些資料中篩選出部分子集進行專案研究。這種機制讓計畫實現了自主分散化運作：讓參與者自發性地進行研究，若發現有效方案，就會為資料庫新增解決方案，使剩餘問題數量持續減少。整個團隊就這樣不斷推動專案進度。

陶哲軒表示，有些想法讓這個數字大幅下降，有些則不太成功，不過我們不需要像傳統專案那樣協調配合，而是讓大家各司其職。雖然我們進行了任務分配，但參與者們也自發性地展開了許多獨立活動，這個過程其實還挺有趣的。

第三、形式化驗證打破信任障礙

既然這個團隊多數人在事前並不認識，因此存在一定程度的信任障礙。有趣的是，在陶哲軒眼中，運用AI的形式化驗證，反而十分巧妙地有助於打破信任障礙。

陶哲軒解釋道，過去在數學領域，如果和其他人合作，要不然必須檢查對方提出的每一行內容，要不然就是你必須相信他們擁有足夠好的聲譽，意味著良好的工作品質，值得被納入你的論文中。但是在這個計畫中，既然成員來自多元管道，很多人彼此之前並不認識彼此，信任就成為一個問題。

但是因為所有貢獻都必須經過形式化驗證，所以團隊可以接受匿名或不受信任者的貢獻，相當於打破了之間的信任壁壘。事實上，陶哲軒發現，這種驗證方式帶來極為精確的討論。例如有人嘗試驗證某個證明（像是人工驗證之類的），然後將其轉換為Lean 程式碼。假設這個證明包含九個步驟，其中八個步驟都能正常運行，但最後一個步驟有形式化問題。這時可以與原作者進行深入討論，針對這個需要特別說明的微步驟進行澄清。這種討論雖然不需要 BLE 工具，但通常需要耗費大量時間來規範符號體系和通用術語。

陶哲軒說，有時候人們可能不太明白，如果不能具體說明某個步驟，為什麼你會卡在這個環節，就很難解決問題。但這些程式語言支援極其精確的技術討論，甚至能細化到原子層面，而且你不需要完全理解整個專案就能推進工作。這種近似可分解性的組織和分工方式，使得整個團隊能夠讓每個人發揮所長的高效工作。

陶哲軒說，他們將AI與傳統工具結合，促進了團隊的績效。他們除了使用了一些相對複雜的 AI 技術，尤其是那些被稱為自動定理證明器的工具，但事實上，像 GitHub 這樣的基礎協作平台，以及 Zulip 平台上的討論組這類基礎協作工具，不僅實用，而且不可或缺。

有些人說AI無法產生像人一樣靈光一閃的A-ha時刻，我覺得這種說法有待商榷。AI產生A-ha時刻的機制也許和人類大腦不同，但這並不意味著AI無法有相當於人類靈光一閃的時刻。以前面提到OpenAI找到反例，推翻艾狄胥問題中第90號的「平面單位距離猜想」，並且提出125頁的證明為例，AI的解法相當於人類靈光一閃的A-ha時刻。AI的解法啟發了哥大的數學家Will Sawin，在 AI 的架構上深化，發表論文將下界推進到了n1.014。同時也有人傳出，AI在探索這個問題之初，曾受到了 OpenAI 內部數學家 Boris Alexeev 的方向性建議的啟發，並非百分之百毫無脈絡的憑空創造，可見人類和AI在創造力方面可以互相合作。

陶哲軒團隊在三個月內解決2,200個代數問題，最大的意義或許不僅在結果本身，而是陶哲軒向世界清楚地展示了，人類如何利用AI，配合適當的組織方式和管理工具，能夠達成驚人的成果。即使AI能夠產生並協助驗證高深的數學，但是兩者的關係未必如媒體或大眾所關心的，AI是否會取代人類，造成大量失業。陶哲軒的經驗說明。截至目前為止，人類和AI不僅不是替代關係，反而可以是互補的；不僅如此，AI和傳統生產工具之間也未必是替代的，同樣可能是互補的，甚至連人類、AI和組織都可以是互補與分工合作的。關鍵是知道如何應用AI來提高生產力，如何正確地組織與應用AI和其他工具，這或許是陶哲軒這項驚人的計畫，是他帶給當代為AI困惑的人類，最好的禮物。

※作者為作家，INSEAD博士。