【史上最難的奧數題目】理論數學家解不開，但神人用高中數學輕鬆破解

在數學界中，有一道很經典的難題叫「傳奇的第 6 題」（The Legend of Question Six）。它是國際數學奧林匹亞當中，公認史上最困難的題目。

這道題目是這樣的：

假設正整數 a、b，滿足 ab + 1 可以整除 a^{2 + b}2，證明 (a^{2 + b}2) / (ab + 1) 是某個整數的平方。

Let a and b be positive integers such that ab + 1 divides a^{2 + b}2. Show that (a^{2 + b}2) / (ab + 1) is the square of an integer.

這道題目，當年的奧林匹亞數學議題委員會，以及 4 位數論專家都解不開，被認為「不適合放到競賽題目中」。最後它還是變成了比賽題目，而且還被參賽者解開。

傳奇的第 6 題，當年的理論數學家也解不出來

首先，我們來認識國際數學奧林匹亞競賽。

國際數學奧林匹亞（International Mathematical Olympiad，IMO，下文簡稱奧數）是全球性的數學競賽，參賽對象為全球的中學生，可說是數學界的奧運，從 1959 年開始舉辦，至今已有 60 年的歷史，是國際科學奧林匹亞當中歷史最長的賽事。奧數競賽共有 6 道題目，基本上都是證明題，分為簡單、中等與困難 3 個等級，第 1 與第 4 題屬於簡單題，第 2 與第 5 題屬於中等題，第 3 與第 6 則是困難題。每題滿分為 7 分，總分 42 分。

奧數每年都由不同的國家主辦（台灣曾擔任 1998 年的主辦國），題目由主辦國外的其他參賽國提供，主辦國會組織擬題委員會，從題目當中選出候選題目，再由參賽各國一同商議出最終競賽題目與官方解答。

而「傳奇的第 6 題」是 1988 年的題目，是由西德數學家提供的。西德曾獲 1982 和 1983 年的奧數冠軍，後來被美國、蘇聯、羅馬尼亞等國奪去冠軍頭銜，西德數學家就在 1988 年，精心設計超難的「傳奇的第 6 題」。

當年主辦國是澳洲，結果擬題委員會的 6 個成員都無法解開這道難題，他們向國內最強的 4 位數論專家求助，他們也無法解題。但是擬題委員會仍然把這道題目列為候選題，結果各國商議過後，竟然真的採用這道題目，成為第 29 屆奧數的第 6 題。

更驚人的是，竟然有參賽選手解開這道題目。雖然 268 位選手的平均得分只有 0.6，是奧數 29 年來分數最低的一題，卻有 11 名選手取得滿分。要特別強調的是，奧數是辦給「中學生」的數學競賽，那些中學生能夠解開理論數學家解不開的題目，真的非常驚人。

他們是怎麼破解「傳奇的第 6 題」的？

奧數選手用高中程度的「韋達跳躍」，破解傳奇的第 6 題

其實他們用的並不是微積分、離散數學、線性代數等高等數學技術，而是高中數學程度的「韋達跳躍」（Vieta jumping）。韋達跳躍包含兩個部分：韋達定理（Vieta’s theorem）、無窮遞降法（method of infinite descent）。

韋達定理描述二次方程式當中，兩根的和、積與項數之間的關係，這是台灣高一數學課的內容。韋達定理是這樣的：

假設一元二次方程式 ax^2 + bx + c = 0 有兩根 α、β，則 α + β = -b/a，αβ = c/a。

無窮遞降法則是一種反證法，台灣高中數學不特別教無窮遞降法，因此對高中生來說，這的確是一種艱深的數學技術；但高一數學的「數學歸納法」會提到反證法，可能還是會有些「神人」懂無窮遞降法。無窮遞降法是這樣的：

先假設方程式有解，並假設 X 為最小解；接著再從 X 出發，嘗試推導出另一個更小的解 Y。若能推導成功，代表與前題假設「X 為最小解」矛盾，因此能證明此方程式無解。

使用上述方法，解答「傳奇的第 6 題」的思維會是：

1. 根據題目敘述，ab + 1 可以整除 a^{2 + b}2，所以 (a^{2 + b}2) / (ab + 1) 是正整數；假設該正整數為 k。

2. 接著，假設有正整數 a、b 滿足 (a^{2 + b}2) / (ab + 1) = k，而 k 不是平方數。

3. 最後，假設在所有滿足條件的正整數中，有一組是 a1、b1，它們擁有最小的和；假設 a1 >= b1。

解題時，就可以製造一個矛盾，證明還有比 a1、b1 小的值，因此前一個假設「k 不是平方數」也不成立。最後就可以證明「k 是平方數」，(a^{2 + b}2) / (ab + 1) 的值必定是某個數字的平方數。

我們可以開始解題了：

根據 (1)，由於 k、b1、a1 皆為整數，因此 a2 必為整數。
根據 (2)，由於 k 不是平方數，(b1)^{2- k 不可能是 0，因此 a2 不可能是 0。
根據 (a2}2 + b1^2) / (a2b1 + 1) = k，由於 k、b1 是正整數，因此 a2 不可能是負數。

也就是說，a2 是個正整數。

前面，我們假設過 a1 >= b1，因此根據 (2)，a2 一定小於 a1，因此 a2 + b1 為更小值，與「a1 + b1 為最小整數解」的假設矛盾，也因此「k 不是平方數」是錯誤的假設。可以證明，(a^{2 + b}2) / (ab + 1) 的值必定是某個數字的平方數。

雖然高中生不會記得「韋達定理」這個名稱，但它是高中數學很基本的解題技巧，是小考、段考考到爛掉，學測、指考也會出現的概念。「無窮遞降法」的難度較高，但背後的原則「反證法」也是高中證明題常用到的技術。然而就是會有厲害的人，能夠用這些基本的技術，搭配巧思，解答理論數學家無法解答的難題。

看到這麼乾淨的思維與解題流程，真的是佩服那些奧數的參賽選手（跪了）。

參考資料來源：
1.《史丹福狂想曲》：〈 史上最難的奧數題目 〉
2.《Science Alert》：〈The Legend of Question Six: One of The Hardest Maths Problems Ever〉
3.《MATHEMATICS》：〈Simple solution to Question 6 from the 1988 Math Olympiad [duplicate]〉
（本文提供合作夥伴轉載。首圖截至 MATHEMATICS）

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