質數並不隨機？科學家發現質數與某些準晶體原子排列模式驚人相似
質數（prime）是數學界的謎團之一，儘管過去數學家已發現許多驗證質數的方法，但一直以來都無法透過規律準確預測。近期普林斯頓大學（Princeton University）研究人員一項新分析發現，質數的模式與準晶體（quasicrystal）材料內部原子排列模式非常類似，未來或許有望以新方式讓質數的預測更加精確。
自古希臘以來，數學家對質數的研究就從未中斷，儘管數學家已研究出一些質數的順序規律，但隨著數字延伸，質數也就分布得更零散，這種難以推導的性質也就讓大質數成為許多密碼系統的組成結構。
但近期普林斯頓大學的新研究發現，質數或許並不像人們原先所想的如此隨機分布。研究人員發現質數序列中很長一段數字，與準晶體材料在 X 射線下顯示的內部原子排列模式有驚人的相似度。
普林斯頓大學自然科學教授 Salvatore Torquato 指出，質數的分布與「準晶體」材料非常相似，特別是從大範圍數列來看，質數遠比過去人們所想的更規律，屬於「超齊構體」（hyperuniformity）模式。
所謂的超齊構體，指的便是看似無序、實則極為均勻有序的排列模式，包含晶體、準晶體和一些特殊無序系統都是屬於超齊構體的材料，過去科學家曾在鳥類眼睛的錐細胞、某些稀有隕石和宇宙大規模結構都發現超齊構體的存在。
回過頭來說，團隊究竟是如何發現質數與「準晶體」原子排列的相似性？根據 2 月發表於《Physics A》期刊的研究，團隊是用電腦將質數模擬為與 X 射線相互作用的一串原子後，才發現這種強烈相符的模式跡象。
X 射線晶體學中，使用 X 射線照射晶體會產生可預測的亮點或峰值模式，也就是所謂的布拉格峰（Bragg peaks）。典型晶體中，布拉格峰會以規律的間隔形成，兩峰之間有空隙，相較之下，準晶體產生的布拉格峰則更獨特且排列複雜，任何兩個選定的峰值間都有另一個峰。
而 Torquato 和團隊在質數中發現的模式，則與準晶體和另一個稱為「限定週期」（limit-periodic）序列的系統非常相似，由於仍存在一些差異，因此團隊將其稱之為「有效限定週期」（effectively limit-periodic）。
▲ 團隊將質數（第一列黑點）模擬為原子後發現，與某些類晶體材料的原子排列模式十分相似。質數出現在「自相似」分組，也就是某些高度峰值之間存在的較小峰值部分。
透過近期數論研究，團隊也為 2 月的模擬實驗提供了強力的理論基礎。研究人員體會到，儘管質數在短範圍呈現隨機性，但只要把數列拉到夠大範圍，看似雜亂的數字也能發現一定規律的端倪。
「當到達那個臨界點時，砰！有序的結構就出現了。」
將近一個世紀以前，數學家運用類似的數字模式，發展出圓法（circle method）來尋找質數的數列模式，而一個世紀以後的現今，科學家終於摸索出一條道路，隱隱約約指向解開質數的謎團。
在 Torquato 看來，質數有漂亮的結構特性，包含難以預期的順序、超均勻性及有效限定週期行為，他認為質數教會人們的，是全新的物質狀態。
而對共同作者 Matthew de Courcy-Ireland 來說，最有趣的還是把這些研究結果帶回 1922 年當時，並以某種方式重新解讀它們。「你會得到一個全新的例子、一個有許多屬性的有趣系統，還有一個或能指引我們找到更多物理實例的方向。」
未參與研究的微軟研究院首席研究員 Henry Cohn 則認為，這項研究最令人著迷的還是帶給人們對「質數」的不同觀點：不視為數字、而將其視為粒子，就能透過 X 射線來繪製它們的結構，「這開啟了材料科學和散射理論的新聯繫。」
論文已刊登在《統計力學：理論與實驗》（Statistical Mechanics: Theory and Experiment）期刊。