數學家用全新數列解開代數最古老難題
澳洲新南威爾斯大學（UNSW）的數學家 Norman Wildberger 教授，近日發表突破性研究，提出一種全新方法來解決代數中最古老也最難的問題之一：高次多項式方程的通解。該成果已刊登於《The American Mathematical Monthly》。
從二次方程式到四次方程式，數學家早在 16 世紀就能利用「根式」（radicals）求解。但 1832 年，法國數學家加羅瓦證明五次以上的多項式無法以一般方式解出。此後，雖有許多數值近似法被廣泛應用，但一直沒有純代數意義上的通解。
Wildberger 教授的創新之處，在於拒絕使用傳統根式和無理數。他主張無理數建立在無限這個「不精確」概念上，導致邏輯混亂。他提出的解法不依賴無窮小數，而是使用可截斷的「冪級數」（power series）和全新的組合數列，稱為「Geode」。
不依賴無窮小數，而使用可截斷的「冪級數」
這些數列靈感來自著名的「Catalan 數」，後者描述將多邊形分割成三角形的方式，廣泛應用於資料結構、演算法與 RNA 摺疊路徑等領域。Wildberger 將其從一維推廣至多維，捕捉多邊形內部不相交分割的所有可能性，進而建立出可套用至任意次多項式的解法架構。
研究還展示了使用 Geode 處理古典三次方程（如 Wallis 方程）的優異效果，驗證此方法具實用潛力。Wildberger 表示，這項發現不僅為理論數學帶來突破，也可能推動演算法革新，提升解方程式的電腦運算效率。
他認為 Geode 數列背後蘊藏豐富數學結構，有望開啟全新研究領域。「這只是個開始，組合數學家未來幾年恐怕都忙不完。」
更多科學與科技新聞都可以直接上 明日科學網
首圖來源：UNSW Sydney (CC BY 4.0)
圖片來源：The American Mathematical Monthly(CC BY 4.0)
參考論文：
1、A Hyper-Catalan Series Solution to Polynomial Equations, and the Geode
留言 1