นักคณิตศาสตร์ค้นพบวิธีการใหม่! ในการหา “จำนวนเฉพาะ”

หนึ่งในบทเรียนของวิชาคณิตศาสตร์ที่หลายคนอาจพอจำกันได้ คือเรื่องของ “จำนวนเฉพาะ” (Prime Number) หรือจำนวนเต็มบวกที่หารลงตัวได้ด้วยเลข 1 และตัวมันเองเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น 2, 3, 5, 7 เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะไม่มีเลขอื่นใดนอกจากเลข 1 และตัวมันเองที่หารลงตัว ส่วนเลข 6 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ เพราะหารด้วย 2 และ 3 ลงตัว

ปัญหาของจำนวนเฉพาะคือ ในเลข 1-100 อาจยังพอจดจำหรือลองหารด้วยเลขต่าง ๆ ไปเรื่อย ๆ ได้อยู่ แต่หากจำนวนนั้นเป็นหลักแสนหลักล้านล่ะ?

ด้วยเหตุนี้ จึงเป็นเวลาหลายศตวรรษที่นักคณิตศาสตร์พยายามค้นหารูปแบบใหม่ ๆ ที่จะช่วยระบุจำนวนเฉพาะได้โดยง่ายที่สุด

กลยุทธ์การลองหารและแยกตัวประกอบไม่เอื้ออำนวยหรือไม่สามารถนำไปใช้ในการตรวจสอบว่าตัวเลขจำนวนมหึมานั้นเป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบได้ ตัวอย่างเช่น จำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดที่รู้จักกันในปัจจุบันคือ “2 ยกกำลัง 136279841 แล้วลบ 1” โดยมีความยาวถึง 41,024,320 หลัก

จำนวนดังกล่าวอาจดูใหญ่จนน่าตกใจ อย่างไรก็ตาม ยังมีจำนวนเฉพาะที่ใหญ่กว่านี้

ยิ่งไปกว่านั้น นักคณิตศาสตร์ต้องการทำมากกว่าแค่พยายามแยกตัวประกอบตัวเลขทีละตัวอย่างน่าเบื่อหน่ายเพื่อระบุว่าจำนวนเต็มนั้น ๆ เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

โอโนะ เคน นักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยเวอร์จิเนีย กล่าวว่า “เราสนใจจำนวนเฉพาะเพราะมีจำนวนมากมายมหาศาล แต่การระบุรูปแบบใด ๆ ในจำนวนนั้นเป็นเรื่องยากมาก”

อย่างไรก็ตาม เป้าหมายหลักอย่างหนึ่งคือการกำหนดว่าจำนวนเฉพาะกระจายตัวอย่างไรภายในชุดตัวเลขที่ใหญ่กว่า

เมื่อไม่นานนี้ โอโนะและเพื่อนร่วมวิจัยอีกสองคน ได้แก่ วิลเลียม เครก นักคณิตศาสตร์จากวิทยาลัยทหารเรือสหรัฐ และแจน-วิลเลม ฟาน อิตเทอร์ซัม นักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยโคโลญในเยอรมนี ได้ค้นพบแนวทางใหม่สำหรับการค้นหาจำนวนเฉพาะ

โอโนะบอกว่า “เราได้อธิบายเกณฑ์ประเภทใหม่จำนวนมากมายอย่างไม่สิ้นสุดสำหรับการกำหนดเซตของจำนวนเฉพาะอย่างแม่นยำ ซึ่งทั้งหมดนั้นแตกต่างกันอย่างมากจาก ‘ถ้าคุณไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ มันก็ต้องเป็นจำนวนเฉพาะ’”

แก่นของกลยุทธ์ของทีมวิจัยคือแนวคิดที่เรียกว่า “การแบ่งส่วน” (integer partitions)

ทฤษฎีการแบ่งส่วนนั้นเก่าแก่มาก แนวคิดนี้ย้อนกลับไปถึงยุคของนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสในศตวรรษที่ 18 ชื่อ เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ และนักคณิตศาสตร์ก็ได้ปรับปรุงทฤษฎีนี้มาอย่างต่อเนื่อง

“เมื่อมองเผิน ๆ การแบ่งส่วนดูเหมือนจะเป็นของเด็กเล่น มันคือการดูว่า คุณสามารถบวกตัวเลขเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ได้กี่วิธี?” โอโนะกล่าว

ตัวอย่างเช่น เลข 5 มีการแบ่งส่วน 7 แบบ คือ

4 + 1

3 + 2

3 + 1 + 1

2 + 2 + 1

2 + 1 + 1 + 1

และ 1 + 1 + 1 + 1 + 1

อย่างไรก็ตาม แนวคิดนี้กลับกลายเป็นกุญแจสำคัญที่ซ่อนอยู่ซึ่งปลดล็อกวิธีการใหม่ ๆ ในการตรวจจับจำนวนเฉพาะ

โอโนะ, เครก และอิตเทอร์ซัม พิสูจน์ได้ว่า จำนวนเฉพาะ คือคำตอบของจำนวนอนันต์ของสมการพหุนามประเภทหนึ่งในฟังก์ชันการแบ่งส่วน ที่เรียกว่า “สมการไดโอแฟนไทน์” (Diophantine equations)

สมการไดโอแฟนไทน์ได้รับการตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกในศตวรรษที่ 3 ไดโอแฟนทัสแห่งอเล็กซานเดรีย หลักการคือ เป็นสมการที่มีตัวแปรไม่ทราบค่าตั้งแต่ 1 ตัวขึ้นไป และมีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ

โดยนิพจน์เหล่านี้อาจมีคำตอบเป็นจำนวนเต็มหรือคำตอบแบบตรรกยะ (หมายถึงสามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้) กล่าวอีกนัยหนึ่ง การค้นพบนี้แสดงให้เห็นว่า “การแบ่งส่วนจำนวนเต็มสามารถตรวจจับจำนวนเฉพาะได้ในรูปแบบธรรมชาติมากมายอย่างไม่สิ้นสุด”

โอโนะบอกว่า การค้นพบนี้ไม่ใช่แค่การตรวจสอบการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะเท่านั้น “จริง ๆ แล้ว เราสามารถตรวจสอบจำนวนเฉพาะทั้งหมดได้อย่างชัดเจน”

ในวิธีนี้ เราสามารถแทนค่าจำนวนเต็มที่เท่ากับหรือมากกว่า 2 ขึ้นไปลงในสมการเฉพาะ และถ้าค่าเหล่านั้นเป็นจริง จำนวนเต็มนั้นก็จะเป็นจำนวนเฉพาะ

หนึ่งในสมการตัวอย่างคือ (3n3 − 13n2 + 18n − 8)M1(n) + (12n2 − 120n + 212)M2(n) − 960M3(n) = 0 โดยที่ M1(n), M2(n) และ M3(n) เป็นฟังก์ชันการแบ่งส่วนที่ได้รับการศึกษาอย่างดี

ทีมวิจัยบอกว่า “โดยทั่วไป เราพิสูจน์ได้ว่า มีสมการตรวจจับจำนวนเฉพาะที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่อยู่มากมายอย่างไม่สิ้นสุด” หรือพูดให้เข้าใจง่าย ๆ โอโนะบอกว่า “มันเกือบจะเหมือนกับว่า งานของเราให้คำจำกัดความใหม่จำนวนมากมายอย่างไม่สิ้นสุดสำหรับจำนวนเฉพาะ นั่นเป็นเรื่องที่น่าทึ่งมาก”

ทั้งนี้ ยังคงมีปริศนาเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะอยู่มากมาย ซึ่งหลายข้อมีมานานแล้ว เช่น ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะคู่ (Twin Prime Conjecture) และข้อสันนิษฐานของโกลด์บาค (Goldbach's Conjecture)

ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะคู่ ระบุว่า “มีจำนวนเฉพาะ P ซึ่ง P + 2 เป็นจำนวนเฉพาะด้วย อยู่ไม่จำกัด” หรือซึ่งก็คือมีจำนวนเฉพาะที่มีค่าห่างกัน 2 อยู่ไม่จำกัด จำนวนเฉพาะคู่ เช่น จำนวน 5 และ 7 กับจำนวน 11 และ 13

ข้อสันนิษฐานของโกลด์บาคระบุว่า “จำนวนคู่ทุกจำนวนที่มีค่ามากกว่า 2 เป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองตัวอย่างน้อยหนึ่งแบบ” แต่ยังไม่มีใครพิสูจน์ว่าข้อสันนิษฐานนี้เป็นจริง

โอโนะบอกว่า “ปัญหาแบบนั้นทำให้บรรดานักคณิตศาสตร์และนักทฤษฎีจำนวนงุนงงมาหลายชั่วอายุคน เกือบตลอดประวัติศาสตร์ของทฤษฎีจำนวน” และแม้ว่าการค้นพบล่าสุดของทีมเขาจะไม่สามารถแก้ไขปัญหาเหล่านั้นได้ แต่เขากล่าวว่า นี่เป็นตัวอย่างอันล้ำลึกว่า นักคณิตศาสตร์ยังคงพยายามทำความเข้าใจธรรมชาติอันลึกลับของจำนวนเฉพาะ

อ่านงานวิจัยฉบับเต็ม ที่นี่

เรียบเรียงจาก Scientific American

ข่าวที่เกี่ยวข้อง

นักวิทย์ค้นพบความลับเสียง “Purr” ของแมว รู้แล้วเกิดจากอะไร?

นักวิทย์พบ “ทองคำ-โลหะหายาก” ในแก่นโลก กำลังรั่วไหลขึ้นสู่ผิวโลก!?

นักวิทย์ทึ่ง พบ “ลิงชิมแปนซี” มีพฤติกรรมตั้งวงก๊งแอลกอฮอล์

อ่านข่าวต้นฉบับได้ที่ : นักคณิตศาสตร์ค้นพบวิธีการใหม่! ในการหา “จำนวนเฉพาะ”

ติดตามข่าวล่าสุดได้ทุกวัน ที่นี่

- Website : https://www.pptvhd36.com