拓撲學逐漸成為資料分析上不可或缺的工具，最新的成果是：揭露腦神經元表現空間位置的方式。
挪威科技大學資料科學家鄧恩（Benjamin Adric Dunn）給我看一張圖片，上面有些間隔不太均勻的點，它們的排列看起來像英國巨石陣中的石頭。這些點的整體模式，至少對人類來說，是很清楚的。鄧恩說：「我們注視這張圖，便知道顯然是個圓。」但是演算法拙於辨識這麼簡單的形體，「它經常搞錯整體的圖像。」
許多科學過程都涉及迴圈或重複形式。電腦無法辨識這類關係這件事，對於想在大量資料點中辨認出圓圈模式的科學家來說，是一道難題。資料經常被視為空間中飄散的點，就像夜空中的星辰。一個資料點可能表示某個物理位置，就像經度和緯度這兩個數一樣，能定位公海上的船舶。也可以用類似方法，把基因標示在多維度的數學空間中（維度有時高達數百），而且兩個類似DNA序列的基因點位置相近。資料中的圓圈模式，其重要與否取決於應用的脈絡，船舶位置的圓圈或許暗示失蹤，基因資料中的圓圈則可能顯示某種演化關係。
這些如同夜空星辰般的資料點通常都太過複雜，維度太高，無法利用肉眼探究。為了偵測資料之中是否存在圓圈模式，研究人員需要一套足夠精確的指令讓電腦能夠理解。過去許多資料分析的標準技術都是以一門數學領域為基礎，稱為線性代數，但是線性代數研究的是直線與平面，想要找到迴圈，研究人員必須轉而求助於提供極為不同觀點的拓撲資料分析（TDA）。
線性代數的特性是研究相對簡單而剛性的結構，相較之下，TDA的基礎是拓撲學，這門數學分支專門研究可拉伸的柔軟形體。由於拓撲學家假設所有形體都充滿彈性，拓撲學也經常稱為橡膠幾何學。
就好像星星構成星座，TDA能協助數學家，從散亂的資料點中構造出有意思的模式。首先，研究人員把資料點當做某種虛擬鷹架中的節點（node）或榫卯，以此建構出可能高達數百維的複雜結構，產生的形體圖像不但包含原初資料的大半本質，而且形式更為具體。他們運用拓撲學的觀點研究這些結構，尋找即使鷹架拉伸或彎曲時，仍然保持不變的特性。
拓撲在資料分析上之所以有用，在於它能揭示定性而非定量的性質，即使原初測量時存在隨機誤差或雜訊，拓撲學仍能辨識始終存留的結構面向。雖然雜訊經常干擾原初資料，其拓撲結構始終不變，這揭示了系統的穩固特性。美國賓州大學的數學家格里斯特（Robert Ghrist）說：「現實世界有很多例子，取得的資料都是軟綿綿的，所以你得使用軟綿綿的數學。」
數學家和科學家目前正攜手並進，在大量資料的範圍中找出不尋常的拓撲形體，這些形體所代表的可能是例如具有日周律（daily rhythm）的生物過程或藥物分子的結構。在這類探究之中，最有趣的與大腦有關，數學家運用拓撲學探索神經元在大腦延伸區域內如何產生交互作用，並對不同的環境和刺激做出反應。鄧恩與神經科學家合作，最近發現某些腦細胞使用環面（torus，這個數學名詞可描述甜甜圈表面）來描繪其所處環境。
甜甜圈和咖啡杯
儘管拓撲學家很擅長拉伸橡膠面，卻很小心維持其上的孔洞數，他們從不多戳出一個新洞，也不填滿現有的孔洞。有一個經典數學笑話說，拓撲學家分不清楚甜甜圈和咖啡杯，因為它們都有一個洞。
拓撲學家根據維度為孔洞分類。迴圈的外形像數字0，有一個一維孔洞，因為它把一維線段的兩端點黏在一起。若從一張紙卡的二維平面區域開始，用膠帶把區域邊緣黏起來，可能就會得到像空心球一樣的形體，這是一個二維孔洞。
更高維度的形體可能具有更高維的孔洞。類比於一維和二維孔洞，可把類似正方體的三維空間「封閉」起來，構成一個三維孔洞。但這整個過程只能在四維空間中才能目睹，超出大多數人（或許是任何人）的能力之外。
有些形體具有多個不同維度的孔洞，例如孩童坐著彈跳的帶柄充氣球。球的中空中心是一個二維孔洞，實心手柄則有個一維孔洞。拓撲學有很多明確方法，能用於計數高維形體的孔洞，這些方法已證實可協助研究大腦的神經元活動。
印第安納大學的神經科學家史彭斯（Olaf Sporns）認為大腦是巨大交通網絡，神經元和連接的突觸構成網絡中的基礎設施和道路，大腦的電生理化學訊號沿著街道傳播。他說：「實際道路限制了交通模式，可從道路上方動態觀察這些模式。」當我們移動或思考時，大腦的交通模式就會產生變化……
【欲閱讀全文或更豐富內容，請參閱〈科學人〉2022年第250期12月號】
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