沙發搬不過轉角，《六人行》羅斯的問題原來出在數學？

文／馬克．弗雷利；譯／張簡守展

所有人都經歷過這種尷尬，至少數學家以外的一般人都有相似的經驗。我指的是數學家所謂的空間感知問題；對我們一般人來說，則是生活中的沙發搬運問題，也就是常見的「我以為過得去」情況。

想像你正在逛當地的家具店，店家正好推出促銷活動。你看到一組沙發相當喜歡，更棒的是，老闆開出兩折的誘人優惠，讓你覺得非買不可，當場下訂。

隔天沙發送來時，你才驚覺事情沒有想像中簡單。沙發順利進了門，但隨之而來的九十度轉角，讓沙發無法輕易進入客廳。經過漫長努力，不管怎麼推、怎麼拉，沙發始終無法順利過彎。隔天你回到店裡，詢問後只得到促銷商品無法退款的答覆。你的阿姨住在稍嫌偏僻的郊區，她很樂意下週就接收這組漂亮的沙發。她的房子古色古香，走廊又直又寬，完全沒有轉彎的問題。只不過，你得再買一組搬得進客廳的沙發，而到時你的信用卡帳單恐怕不會太好看。

簡化問題

為什麼數學家不會遇上相同的問題？因為討論線段、曲線和形狀的幾何學可以化解這類煩惱。如果你認為幾何學只有需要考試的學生和象牙塔中的學者需要了解，恐怕大錯特錯。幾何學可以在現實生活中派上用場，也能拯救你的荷包。在解決問題時也能搭配一些代數──你只需要記住，不同長度可以分別使用不同字母來代表。

很多時候，數學家會先思考較簡單的問題，再據以推敲較棘手的難題。與其設法讓沙發順利過彎，我們不如先將長度為L的梯子放倒並垂直於地面，試著搬過轉角。另外，我們還要假設兩個走廊的寬度相同，在此以字母 a 表示。

在對稱（轉角兩側的走廊同寬）的假設下，我們應該可以明顯看出，關鍵是梯子抵到內轉角且兩邊長度相等時的位置（請見圖1），此即為梯子能通過的最大長度，而此時外轉角到梯子末端的長度為 2a。

想必你應該還記得學校教過的畢氏定理，根據該定理：

L² = (2a)² (2a)²

由此可知 L = √8a。這時只要使用計算機，就能輕鬆算出確切的答案。

如果轉角兩邊的走廊寬度不同，我們就必須參考比利時根特大學雷蒙．布特教授（Raymond Boute）的數學論文〈移動長方形通過轉角：從幾何學的觀點談起〉（Moving a Rectangle around a Corner – Geometrically）。

假設一邊走廊的寬度為 a，另一邊為 b（請參考圖2），那麼透過神奇的數學運算，我們可以得出梯子能順利通過轉角的最大長度 L。布特指出，考量梯子順著轉角旋轉的情形，梯子的最大長度可以方程式表示如下：

L² = (a2⁄3 b2⁄3)³

或

L = (a2⁄3 b2⁄3)3⁄2

我們可以再次使用計算機算出答案。

從梯子推敲沙發

即便有梯子的例子為基礎，要是把梯子換成寬度為W的沙發（請見圖2），數學計算就會變得無比複雜。布特指出，我們需要算出以下方程式中m的值：

(bm³ – a)² – w² (m²– 1)² (m²+ 1) = 0

得出 m 的值之後，容許沙發通過的最大長度即可以下列方程式表示：

L² = (1 + 1/m²) [a + mb – W(m² +1)]

如果你想挑戰，當然可以自己動手解方程式。不過，幸好，你不必親自運算所有算式。我們總是可以從網路上找到更快的解決方法。打開網站讓計算機幫你搞定所有數學。你只要輸入走廊寬度以及沙發的長度和寬度，就能得知沙發能否順利通過轉角。

數學家熱愛各種挑戰，無趣的長方形沙發已無法滿足他們的胃口。他們早就開始研究多大（面積）的沙發可以順利通過轉角。數學家傑・葛弗（J. Gerver）已經算出目前可通過的最大沙發面積，這座沙發的外型就像舊式電話，正面有個半圓形的缺口，背面則為曲線造型。

下次你走進家具店時，別忘了攜帶測量工具。或者，帶上一位親切友善的數學家，也是不錯的選擇。

※ 本文摘自《搬沙發的幾何學》，原篇名為〈如何讓沙發順利通過轉角──搬家師傅還是得懂一些幾何學〉，立即前往試讀►►►